1 Motivation

Die Abbildung 1 zeigt eine sehr einfache gemeinsame Zerlegung eines regelmäßigen Zwölfecks und eines flächengleichen Quadrates.

Abb. 1: Zwölfeck und Quadrat

Die Zerlegung basiert auf dem Sachverhalt, dass es im regelmäßigen Zwölfeck Diagonalen gibt, die exakt gleich lang sind wie die Quadratseite.

2 Frage

Gibt es eine entsprechende einfache gemeinsame Zerlegung eines regelmäßigen Zwölfecks und eines flächengleichen gleichseitigen Dreiecks?

3 Eine Lösung

Die Abbildung 2 zeigt eine Lösung. Zugegeben, sie ist nicht einfach.

Entsprechende Teile sind gleichsinnig kongruent und können durch Translationen oder Drehungen um Vielfache von 30° miteinander zur Deckung gebracht werden.

Abb. 2: Zwölfeck und Dreieck

4 Lösungsidee

Wir kombinieren die gemeinsame Zerlegung eines Zwölfecks mit einem Quadrat (Abb. 1) mit einer gemeinsamen Zerlegung eines Quadrates mit einem gleichseitigen Dreieck.

5 Quadrat und Dreieck

Es gibt viele gemeinsamen Zerlegungen eines Quadrates und eines gleichseitigen Dreiecks. Ein bekanntes Beispiel ist die Zerlegung von Dudeney, die aus je vier Teilen besteht.

Im Folgenden wir die Zerlegung der Abbildung 3 verwendet. Die Zerlegung besteht aus je sieben Teilen. Entsprechende Teile können durch Translationen oder Drehungen um 180° zur Deckung gebracht werden.

Abb. 3: Quadrat und Dreieck

Die Stimmigkeit dieser Zerlegung wird einsichtig, wenn wir das Dreieck auf halber Höhe abschneiden und zu einem Rechteck umlegen (Abb. 4). Es läuft dann wie auf Schienen.

Abb. 4: Einsicht in die Zerlegung

6 Quadrate überlagern

Die Idee ist nun, die Quadrate der Zerlegung Zwölfeck/Quadrat einerseits und Quadrat/Dreieck andererseits zu überlagern. In der Abbildung 5 stammen die roten Zerlegungslinien von der Zerlegung Zwölfeck/Quadrat (Abb. 1), die blauen von der Zerlegung Quadrat/Dreieck (Abb. 3).

Abb. 5: Überlagerung der Quadratzerlegungen

Nun müssen nur noch die Zerlegungsteile in das Zwölfeck einerseits und das Dreieck andererseits rückübertragen werden (Abb. 6). Dies ist eine reine Fleißarbeit.