Hans Walser, [20260520]
Fibonacci-Spiralen
Anregung: Shingo Nakanishi, OIT (Osaka Institute of
Technology), Japan
1 Worum es geht
Spiralen mit gleichschenkligen Trapezen, deren Seitenlängen den Fibonacci-Zahlen entsprechen.
2 Die Fibonacci-Trapeze
In einem regelmäßigen Dreiecksraster zeichnen wir die Fibonacci-Trapeze (Abb. 1). Diese sind gleichschenklig und haben drei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen als Seiten. Dabei arbeiten wir mit folgenden Zahlen der Fibonacci-Folge:
–1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Das gleichschenklige Trapez ganz rechts zum Beispiel hat die Grundseitenlänge 13, die Schenkellänge 8 und die Deckseitenlänge 5. Die drei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sind also 5, 8, 13.
Abb. 1: Fibonacci-Trapeze
Das „Trapez“ ganz links gehört zum Tripel –1, 1, 0. Die Grundseitenlänge ist –1, die Schenkellänge 1 und die Deckseitenlänge 0.
Die anschließende Strecke gehört zum Tripel 1, 0, 1.
Das nächste Dreieck zum Tripel 0, 1, 1.
Das erste wirkliche Trapez zum Tripel 1, 1, 2.
3 Eine Spirale
Wir bauen aus den Trapezen der Abbildung 1 eine Spirale (Abb. 2). Sie passt in den Dreiecksraster.
Abb. 2: Spirale aus Trapezen
4 Sechs Spiralen
Wir können sechs Spiralen der Abbildung 2 so zusammenfügen, dass sie die ganze Ebene überdecken, sich aber nicht überlappen (Abb. 3).
Abb. 3: Sechs Spiralen
In der Abbildung 4 sind nur die Grenzlinien gezeichnet. Wir erkennen zwei gegenläufige Spiraltypen.
Abb. 4: Grenzlinien
Die Abbildungen 5 und 6 zeigen die Spiraltypen einzeln.
Abb. 5: Linienspiralen
Abb. 6: Linienspiralen
Die Abbildung 7 zeigt die sechs Flächenspiralen ohne Hintergrundraster.
Abb. 7: Sechs Flächenspiralen ohne Raster
5 Noch eine Spirale
Die Spirale der Abbildung 8 enthält rechte Winkel und passt daher nicht mehr in einen Dreiecksraster.
Abb. 8: Spirale mit rechten Winkeln
Wir können sechs solcher Spiralen zusammenfügen (Abb. 9). Die Lücken dazwischen sind Quadrate mit den Seitenlängen der Fibonacci-Zahlen.
Abb. 9: Sechs Spiralen mit Lücken dazwischen
6 Alternierende Färbung und Diagonale
Wir färben die Figuren der Abbildung 1 alternierend rot und grün und versehen die Trapeze mit Diagonalen, welche von links oben nach rechts unten verlaufen (Abb. 10).
Abb. 10: Alternierende Färbung. Diagonalen
Wir können alle roten beziehungsweise alle grünen Figuren aufeinanderstapeln und erhalten je ein gleichseitiges Dreieck (Abb. 11).
Abb. 11: Stapel
Wir können die Teile aber auch so anordnen, dass die Diagonalen den Anfang einer Spirale bilden (Abb.12).
Abb. 12: Spiralen
Die Abbildung 13 zeigt dieselben Spiralen mit je drei weiteren Schritten.
Abb. 13: Je drei weitere Schritte
Wir können auch im Wechsel mit den Farben rot und grün arbeiten (Abb. 14).
Abb. 14: Rot-grüne Spirale
Weblinks
Hans Walser:
Fibonacci Spirals
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci_Spirals2/Fibonacci_Spirals2.html
Hans Walser: Fibonacci-Spiralen
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Spiralen2/Fibonacci-Spiralen2.html
Hans Walser: Fibonacci-Spiralen
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Spiralen/Fibonacci-Spiralen.html
Hans Walser: Fibonacci-Star
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Star/Fibonacci_Star.htm
Hans Walser: Fibonacci-Trapeze
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Fibonacci-Trapeze/Fibonacci-Trapeze.htm
Literatur
Walser, Hans (2022): Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren. Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen. Springer Spektrum. ISBN 978-3-662-65131-5 und ISBN 978-3-662-65132-2 (eBook).
Walser, Hans (2024): Spirals,
Helical Lines, and Spiral-Like Figures. Mathematical Playfulness in Two and
Three Dimensions. Springer.
ISBN 978-3-662-68930-1, ISBN 978-3-662-68931-8 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68931-8
Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.