Hans Walser, [20200202], [20251013]

Geometrische Reihe

1 Worum geht es?

Illustration der geometrischen Reihe

für n ≥ 3.

2 Vorgehen

Wir illustrieren das Vorgehen am Beispiel n = 5, also für die Beziehung:

Wir beginnen mit einem regelmäßigen n-Eck (Abb. 1).

Abb. 1: Regelmäßiges n-Eck

Dann zeichnen wir ein zweites, konzentrisches regelmäßiges Fünfeck, welches gegenüber dem ersten um den Längenfaktor √⅙ verkleinert ist, und zwar so, dass seine verlängerten Seiten durch die Ecken des ersten Fünfekces verlaufen (Abb. 2). Konstruktiv geht das zum Beispiel mit den Inkreisen der beiden Fünfecke und den Tangenten von den Ecken des äußeren Fünfeckes daran.

Abb. 2: Verkleinertes n-Eck

Das innere regelmäßige Fünfeck hat gegenüber dem äußeren den relativen Flächeninhalt ⅙. Die außenliegenden Dreiecke in der Abbildung 2 haben auch je diesen Flächeninhalt.

Bemerkung: Diese Dreiecke sind nicht gleichschenklig, also keine so genannten Goldenen Dreiecke (Walser 2024). Das scheint nur so.

Nun färben wir diese Dreiecke individuell (Abb. 3). Das rote Dreieck hat also den relativen Flächeninhalt ⅙.

Abb. 3: Färbung

Nun fügen wir in das weiße Loch eine um den Längenfaktor √⅙ verkleinerte und geeignet gedrehte Kopie der Gesamtfigur ein (Abb. 4). Wir sehen, dass Spiralen entstehen.

Abb. 4: Verkleinerte Kopie im Zentrum

Das kleine rote Dreieck hat den relativen Flächeninhalt (⅙)² . Die beiden roten Dreiecke zusammen haben den relativen Flächeninhalt ⅙ + (⅙)².

Wenn wir so weiterfahren, erhalten wir die Figur der Abbildung 5. Wir erhalten fünf Spiralen mit je dem Flächeninhalt ⅙ + (⅙)² + (⅙)³ + (⅙)⁴ + ... .

Andererseits hat jede Spirale den Flächeninhalt ⅕ des Fünfeckes.

Abb. 5.1: Grenzfigur

Abb. 5.2: Animation zur Grenzfigur

Somit ist:

⅙ + (⅙)² + (⅙)³ + (⅙)⁴ + ... = ⅕

3 Weitere Beispiele

Abb. 6.1: Weitere Beispiele

Abb. 6.2: Weitere Beispiele, Animation

4 Variante

Wir verfahren zunächst gleich wie in den Abbildungen 1 bis 3. Dann setzen wir in das weiße Loch eine verkleinerte Kopie, welche anders orientiert ist als die Dreiecke der ersten Runde (Abb. 7).

Abb. 7: Andere Orientierung

Bei der nächsten Runde wechseln wir wieder die Orientierung. Die dritte Runde ist daher gleich orientiert wie die erste (Abb. 8).

Abb. 8: Wechselnde Orientierung

Wir erhalten die Grenzfigur im Zickzack (Abb. 9).

Abb. 9.1: Grenzfigur

Abb. 9.2: Grenzfigur im Zickzack

5 Weitere Beispiele

Abb. 10.1: Weitere Beispiele

Abb. 10.2: Weitere Beispiele. Animation

Websites

Hans Walser: Geometrische Reihe

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geometrische_Reihe2/Geometrische_Reihe2.html
Hans Walser: Geometrische Reihe

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geometrische_Reihe/Geometrische_Reihe.htm

Hans Walser: Geometrische Reihe

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe2/Geom_Reihe2.htm

Hans Walser: Geometrische Reihe

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe3/Geom_Reihe3.htm

Hans Walser: Geometrische Reihe

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe4/Geom_Reihe4.htm

Hans Walser: Beweis ohne Worte

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Beweis_ohne_Worte5/Beweis_ohne_Worte5.html

Hans Walser: Beweis ohne Worte

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Beweis_ohne_Worte4/Beweis_ohne_Worte4.html

Literatur

Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt. Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN 978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0

Walser, Hans (2024): The Golden Ratio. Geometric and Number Theoretical Considerations. Springer. ISBN 978-3-662-69889-1, ISBN 978-3-662-69890-7 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69890-7