Hans Walser, [20261009]

Isoedrische Dodekaeder

1 Worum es geht

Dodekaeder mit zwölf kongruenten, aber nicht regelmäßigen Fünfecken als Seitenflächen.

2 Schlegel-Diagramm und Realisierung

Die Abbildung 1 zeigt ein Schlegel-Diagramm des Dodekaeders.

Abb. 1: Schlegel-Diagramm

2.1 Fünf Farben

Wir ordnen jeder Kantenlänge des unregelmäßigen Seitenflächenfünfecks eine Farbe zu. Falls das Seitenflächenfünfeck fünf verschiedenen Kantenlängen hat, brauchen wir also fünf Farben.

Wir färben nun einmal ein Fünfeck im Schlegeldiagramm mit fünf Farben (Abb. 2) als Referenzfünfeck.

Abb. 2: Fünfeck mit fünf Farben

Für das an die rote Kante anschließende Fünfeck gibt es nun noch zwei Färbungsmöglichkeiten je nachdem, ob die beiden Fünfecke gleich oder ungleich orientiert sind (Abb. 3).

Abb. 3: Gleichsinnig und ungleichsinnig orientiertes Nachbarfünfeck

Beide Fälle führen zu einem Widerspruch für das links anschließende Fünfeck (gelb in Abb. 4). Im ersten Fall (gleisinnige Orientierung) sind im gelben Fünfeck die grüne und die magenta Kante benachbart, dies im Widerspruch zum Referenzfünfeck. Im zweiten Fall (ungleichsinnige Orientierung) hat das gelbe Fünfeck zwei magenta Kanten, im Widerspruch dazu, dass die Kanten fünf verschiedene Farben haben müssen.

Abb. 4: Widerspruch im gelben Fünfeck

Eine globale Färbung des Schlegeldiagramms mit fünf Farben ist also nicht möglich. Daher gibt es kein isoedrisches Dodekaeder, dessen Seitenflächen fünf verschiedene Kantenlängen haben.

2.2 Vier Farben

Bei vier Farben haben gibt es zwei Kanten mit derselben Farbe. Diese können entweder aufeinanderfolgen oder durch eine weitere Kante getrennt sein (Abb. 5).

Abb. 5: Vier Farben

Bei aufeinanderfolgenden roten Kanten gibt es für die zwei gelb markierten anschließenden Fünfecke zwei Möglichkeiten (Abb. 6). Der erste Fall führt dazu, dass im weiter anschließenden grauen Fünfeck zwei hellblaue Kanten vorkommen. Dies ist ein Widerspruch. Im zweiten Fall haben wir beim Übergang zum grauen Fünfeck entweder zwei blaue oder zwei magenta oder zwei benachbarte Kanten in den Farben blau und magenta. Alle drei Möglichkeiten sind ein Widerspruch.

Abb. 6: Benachbarte rote Kanten

Bei zwei durch eine grüne Kante getrennte roten Kanten (Abb. 5 rechts) sind im benachbarten gelben Fünfeck die beiden roten Kanten ebenfalls getrennt (Abb. 7). Dies hat aber zur Folge, dass im grauen Fünfeck zwei rote Kanten benachbart sind. Dies ist ein Widerspruch.

Abb. 7: Getrennte rote Kanten

Eine globale Färbung des Schlegeldiagramms mit vier Farben ist also nicht möglich. Daher gibt es kein isoedrisches Dodekaeder, dessen Seitenflächen vier verschiedene Kantenlängen haben.

2.3 Drei Farben

Bei drei Farben gibt es für das zentrale Referenzfünfeck zunächst vier Möglichkeiten (Abb. 8).

Abb. 8: Vier Möglichkeiten mit drei Farben

Der erste Fall führt zu einer globalen Färbung mit gleichsinnig orientierten Farben (Abb. 9). Wir haben im positiven Umlaufssinn die Farbreihenfolge rot-grün-grün-blau-blau. Eine scheinbare Ausnahme ist das Außenfünfeck. Es ist aber eine Eigenheit des Schlegel-Diagramms, dass die Außenkontur scheinbar anders orientiert ist. Die Außenkontur ist ein Lochvieleck, dessen Fläche sich im Äußeren befindet.

Es gibt zweimal vier Punkte, bei denen je drei grüne beziehungsweise drei blaue Kanten einmünden. Die vier grünen ausgezeichneten Punkte haben paarweise die Hamming-Distanz 3, es gibt einen aus drei Kanten bestehenden Kantenzug von einem ausgezeichneten Punkt zum anderen. Analog für die vier blauen ausgezeichneten Punkte.

Abb. 9: Konsistente Färbung mit drei Farben

Die konsistente Färbung ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Existenz eines isoedrischen Dodekaeders. In unserem Beispiel gibt es aber tatsächlich passende isoedrische Dodekaeder (Abb. 10 bis Abb. 12). Die je vier grün beziehungsweise blau markierten Punkte bilden je die Ecken eines regelmäßigen Tetraeders. Die beiden Tetraeder sind in der Regel nicht gleich groß. Dieses isoedrische Dodekaeder wird auch als Tetartoid bezeichnet.

Abb. 10: Isoedrisches Dodekaeder

Das isoedrische Dodekaeder lässt sich in einen Glaswürfel einpassen (Abb. 11). Die sechs roten Kanten liegen je in einer Seitenfläche des Glaswürfels. Die markierten grünen und blauen Ecken liegen innerhalb des Glaswürfels.

Abb. 11: In der Vitrine

In der Endlage der Animation der Abbildung 12 haben wir das regelmäßige Dodekaeder.

Abb. 12: Sturm im Wasserglas

Die restlichen drei Fälle mit drei Farben führen zu einem Widerspruch.

Im zweiten Fall gibt es zunächst zwei Möglichkeiten für die Färbung des an die rote Kante anschließenden Fünfecks (gleichsinnig (Abb. 13) oder ungleichsinnig (Abb. 14) orientiert).

Da die Kanten bei jedem Punkt die Farbe ändern, muss an den Punkten mit einer grünen und einer blauen Kante die dritte Kante rot sein. Dies führt in beiden Möglichkeiten zu einem Fünfeck (gelb) mit zwei roten Kanten. Dies ist ein Widerspruch.

Abb. 13: Gleichsinnig orientiertes Nachbarfünfeck

Abb. 14: Ungleichsinnig orientiertes Nachbarfünfeck

Im dritten Fall ist die Färbung des an der roten Kante anschließenden Fünfecks eindeutig bestimmt (Abb. 15). Daher hat aber das rechts liegenden gelbe Nachbarfünfeck zwei aufeinanderfolgende grüne Kanten. Dies ist ein Widerspruch zur Kantenfärbung im zentralen Referenzfünfeck, wo die grünen Kanten durch die rote getrennt sind.

Abb. 15: Spiegelbildliche Färbung

Der vierte Fall ist spannend (Abb. 16) – vielleicht gibt es einen einfacheren Weg, diesen Fall auszuschließen.

Da grün und blau nur je einmal vorkommen, muss an der Spitze des zentralen Referenzfünfeckes eine rote Kante anschließen. Dadurch ist dann aber die Färbung der an diese rote Kante anschließenden gelben Fünfecke eindeutig bestimmt.

Abb. 16: Vierter Fall einer Färbung mit drei Farben

Damit ist dann aber auch die Kantenfärbung der beiden grauen Fünfecke (Abb. 17) eindeutig bestimmt und weiter ebenso die Färbung der beiden braunen Fünfecke. Dadurch ergibt sich aber, dass das oberste (hellblaue) Fünfeck vier rote Kanten haben müsste. Dies ist ein Widerspruch.

Abb. 17: Fortsetzung der Kantenfärbung

Bei drei Farben gibt es also nur die konsistente Färbung der Abbildung 9. Diese lässt sich in einem isoedrischen Dodekaeder realisieren.

2.4 Zwei Farben

Bei zwei Farben gibt es zunächst drei Fälle (Abb. 18).

Abb. 18: Zwei Farben

Der erste Fall führt zu einer globalen Färbung (Abb. 19). Wir haben acht Punkte, bei denen ausschließlich grüne Kanten zusammenkommen.

Abb. 19: Konsistente Färbung mit zwei Farben

Die konsistente Färbung ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Existenz eines isoedrischen Dodekaeders. Im Beispiel der Abbildung 19 gibt es aber tatsächlich passende isoedrische Dodekaeder (Abb. 20 bis Abb. 22). Die grün markierten Punkte, bei denen ausschließlich grüne Kanten zusammenkommen, sind die Ecken eines Würfels.

Abb. 20: Isoedrisches Dodekaeder. Würfelecken

Die sechs roten Kanten liegen auf paarweise windschiefen Mittellinien des würfelförmigen Glaskastens (Abb. 21 und Abb. 22). Der durch die grün markierten Ecken definierte Würfel ist perspektivähnlich zum Glaskasten.

Abb. 21: In der Vitrine

In der Animation (Abb. 22) wir die Länge der roten Kanten variiert. Als Grenzfall haben wir das Rhombendodekaeder, als Zwischenstation das regelmäßige Dodekaeder und als anderen Grenzfall einen Würfel mit halbierten Seitenquadraten.

Abb. 22: Variation der roten Kantenlänge

Wenn wir „überziehen“ und die roten Kanten auf das Φ-fache (Φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618, Goldener Schnitt) der Vitrinen-Kantenlänge vergrößern, ergibt sich ein Stern mit acht Spitzen. Er wird nach Johann Knauth (1864-1924, Dombaumeister in Straßburg) benannt. Es handelt sich dabei um ein nicht-konvexes Dodekaeder. Die Seitenflächen sind kongruente nicht konvexe gleichseitige Fünfecke.

Abb. 23: Knauth-Stern

Werden die roten Kanten auf das Φ²-fache der Vitrinen-Kantenlänge vergrößert, ergibt sich ein Dodekaeder mit Selbstdurchdringung (Abb. 24). Die Seitenflächen sin regelmäßige Pentagramme. Die Figur wird als Ikosaederstern bezeichnet und gehört zu den Kepler-Poinsot-Körpern.

Abb. 24: Ikosaederstern

Wir kehren zurück zu den mit zwei Farben gefärbten Schlegel-Diagrammen.

Im zweiten Fall sind die beiden grünen Kanten durch rote Kanten getrennt. Daher können an einer Ecke nicht zwei grüne Kanten zusammenkommen. Die von den rot-grünen Ecken des Referenzfünfeckes ausgehenden dritten Kanten sind also rot. Dies wiederum hat zur Folge, dass wir im gelb markierten Fünfeck drei aufeinanderfolgende rote Kanten haben, im Widerspruch zur Situation im Referenzfünfeck.

Abb. 25: Ausschließen des zweiten Falles

Der dritte Fall führt ebenfalls zu einer globalen Färbung (Abb. 26). Die Färbung entspricht der Färbung der Abbildung 9, wenn wir dort die blauen Kanten auf rot umfärben.

Wir haben je vier Punkte, bei denen ausschließlich rote beziehungsweise ausschließlich grüne Kanten zusammenkommen.

Abb. 26: Konsistente Färbung mit zwei Farben

Die konsistente Färbung ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Existenz eines isoedrischen Dodekaeders. Im Beispiel der Abbildung 26 gibt es aber tatsächlich passende isoedrische Dodekaeder (Abb. 27 bis Abb. 29). Die je vier rot beziehungsweise grün markierten Ecken sind je die Ecken eines regelmäßigen Tetraeders. Die beiden Tetraeder sind in der Regel nicht kongruent.

Abb. 27: Isoedrisches Dodekaeder

Abb. 28: In der Vitrine

Die Animation (Abb. 29) endet beim regelmäßigen Dodekaeder.

Abb. 29: Animation

3 Symmetrien

Wir bearbeiten im Folgenden das Beispiel der Abbildungen 10 bis 12, da die weiteren Beispiele als Sonderfälle dieses Beispiels gesehen werden können.

Das isoedrische Dodekaeder hat drei paarweise orthogonale zweizählige Drehachsen (rot in Abb. 30). Diese sind auch vierzählige Drehsymmetrien des Glaswürfels. Weiter gibt es vier dreizählige Drehachsen (schwarz in Abb. 30). Diese sind die vier Raumdiagonalen des Glaswürfels.

Abb. 30: Symmetrieachsen

Das isoedrische Dodekaeder hat im Regelfall keine Symmetrieebenen.

4 Konstruktion

Für die Konstruktion des isoedrischen Dodekaeders verorten wir den Glaswürfel in einem kartesischen Koordinatensystem so, dass die roten Drehachsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen und der Glaswürfel die Kantenlänge 2 hat.

Abb. 31: Glaskasten und Koordinatensystem

Auf der Glaswürfeloberfläche zeichnen wir die drei Punkte:

A = [a, b, 1]:

B = [-a, -b, 1]:

C = [b, 1, a]:

Mit a und b haben wir zwei freie Parameter. Die Abbildung 32 zeigt die Situation für a = 0.4, b = 0.15. Die drei Punkte sind Endpunkte von roten Kanten des zu konstruierenden isoedrischen Dodekaeders. Durch den Punkt A und die Symmetrien sind alle sechs roten Kanten festgelegt.

Abb. 32: Drei Punkte auf dem Glas. Rote Kanten

Die drei Punkte A, B und C legen eine Ebene fest. Wir schneiden diese mit den Glaswürfeldiagonalen durch [1, 1, 1] beziehungsweise [-1, 1, 1] (grüner beziehungsweise blauer Punkt in Abb. 33). Die nun vorhandenen fünf Punkte definieren das erste Fünfeck unseres isoedrischen Dodekaeders.

Abb. 33: Schnitt. Erstes Fünfeck

Wir rotieren nun dieses erste Fünfeck um die Glaswürfeldiagonale durch [1, 1, 1] um 120° und um 240°. Nun haben wir insgesamt drei isoedrische Seitenflächen des Dodekaeders (Abb. 34, erstes Bild).

Wir rotieren nun diese drei Fünfecke um die z-Achse (senkrechte rote Achse) um 180°. Nun haben wir insgesamt sechs isoedrische Seitenflächen des Dodekaeders (Abb. 34, zweites Bild).

Schließlich rotieren wir diese sechs Seitenflächen um eine der beiden horizontalen roten Achsen (x-Achse oder y-Achse) um 180°. Damit haben wir alle zwölf isoedrischen Seitenflächen des Dodekaeders und wir sind durch (Abb. 34, drittes Bild).

Abb. 34: Rotationen

5 Abwicklung

Die Abbildung 35 zeigt eine einzelne Seitenfläche.

Abb. 35: Seitenfläche

Die Abbildung 36 zeigt eine Abwicklung.

Abb. 36: Abwicklung

Die Abbildungen 37 und 38 zeigen ein Schnittmuster für eine Hälfte der Abwicklung.

Abb. 37: Schnittmuster

Abb. 38: Schnittmuster

Die Abbildung 39 zeigt ein rustikales Modell auf der Basis des Schnittmusters. Die drei paarweise orthogonalen zweizähligen Drehachsen sind durch Holzspieße realisiert.