Hans Walser, [20240718]
Oktaedertransformation
1 Worum es geht
Verdrehen der Seitenflächen eines regelmäßigen Oktaeders
2 Vom Oktaeder zum Oktaeder
Ein Gelenkmechanismus aus acht gleichseitigen Dreiecken führt das Oktaeder in das Oktaeder über (Abb. 1). Die Dreiecke sind außen rot und innen grün.
Abb. 1: Vom Oktaeder zum Oktaeder
Das Modell ist nicht selbsttragend. Es kann zum Beispiel flach zusammenklappen.
Um dies zu vermeiden, bauen wir Achsen ein, die normal zu den Dreiecken sind. Die Dreiecke können auf diesen Achsen sowohl drehen wie gleiten.
Die Achsen sind die Raumdiagonalen eines Würfels.
Abb. 2: Normalachsen
3 Oktanten
Die Figur hat drei paarweise orthogonale Symmetrieebenen, welche den Raum in acht Oktanten unterteilen. Jedes Dreieck bleibt in seinem Oktanten. Seine Ecken bewegen sich auf den Symmetrieebenen.
Abb. 3: Oktanten
4 Bahnkurven
Die Abbildung 4 zeigt die Bahnkurven der Dreiecksecken auf den Symmetrieebenen.
Abb. 4: Bahnkurven auf Symmetrieebenen
In der Abbildung 5 sind die Symmetrieebenen nicht mehr gezeichnet.
Abb. 5: Bahnkurven
Abb. 6: Königlicher Draht
5 Wie finden wir die Bahnkurven?
Die Bahnkurven liegen in den Symmetrieebenen. Weiter liegen die Bahnkurven auf den Zylindern mit den Normalachsen als Achsen und dem Umkreisradius der Dreiecke als Radius. Die Schnittfigur einer Symmetrieebene mit einem Zylinder ist eine Ellipse.
Es gibt insgesamt sechs solcher Ellipsen, in jeder Symmetrieebene zwei (Abb. 7).
Abb. 7: Sechs Ellipsen
Die Abbildung 8 gibt eine spezielle Sicht. Die Ellipsen haben das Achsenverhältnis √3 : 1. Mehr dazu hier.
Abb. 8: Spezielle Sicht
In den Abbildungen 1 bis 5 wurden die Dreiecke jeweils hin und zurück gedreht. Die Abbildung 9 zeigt dieses Hin- und Zurückdrehen für ein einzelnes Dreieck und sein Gegenstück. Die Ecken der beiden Dreiecke laufen auf denselben drei Ellipsen.
Abb. 9: Gemeinsame Ellipsen
6 Weiterdrehen
Statt hin und zurück können wir auch weiterdrehen (Abb. 10).
Abb. 10: Weiterdrehen
Im Berühr- und Durchdringungspunkt bilden die beiden Dreiecke einen Davidstern (Abb. 11).
Abb. 11: Davidstern
Die Abbildung 12 zeigt die gesamte Figur beim Weiterdrehen.
Abb. 12: Weiterdrehen
7 Spezielle Situationen
Die Figur ist zyklisch mit einem Parameter t parametrisiert, der von 0 bis 1 läuft.
Für t = 0 ergibt sich das rote Oktaeder (Abb. 13.0). Es ist die Startfigur in den Abbildungen 1 bis 5.
Abb. 13.0: Rotes Oktaeder
Für t = (-Pi + 6*arctan((sqrt(5) + 3)*sqrt(3)/(3*sqrt(5) - 3)))/12/Pi ≈ 0.1048923442 ergibt sich eine außen rote Figur, deren konvexe Hülle ein Ikosaeder ist (Abb. 13.1). Der Parameter t sieht im Klartext so aus:
Wir erkennen die Nähe zum Goldenen Schnitt.
Abb. 13.1: Gerüst eines Ikosaeders
Für t = 1/6 ergibt sich das Gerüst eines außen roten Kuboktaeders (Abb. 13.2).
Abb. 13.2: Kuboktaeder
Für t ≈ 0.2284409891 ergibt sich nochmals das Gerüst eines außen roten Ikosaeders (Abb. 13.3). Man beachte den Unterschied zum Gerüst der Abbildung 13.1.
Abb. 13.3: Ikosaeder
Für t = 1/3 ergibt sich nochmals ein rotes Oktaeder (Abb. 13.4). Es ist die Endfigur in den Abbildungen 1 bis 5.
Abb. 13.4: Rotes Oktaeder
Für t = 5/12 ergibt sich eine aus 4 Davidsternen zusammengesetzte Figur (Abb. 13.5).
Abb. 13.5: Vier Davidsterne
Für t = 1/2 erhalten wir ein grünes Oktaeder (Abb. 13.6).
Abb. 13.6: Das Innere kommt nach außen
Für t ≈ 0.1048923442 + 0.5 ≈ 0.6048923442 ergibt sich das Gerüst eines außen grünen Ikosaeders (Abb. 13.7).
Abb. 13.7: Ikosaeder, außen grün
Für t = 1/6 + 1/2 = 2/3 ergibt sich das Gerüst eines außen grünen Kuboktaeders (Abb. 13.8).
Abb. 13.8: Kuboktaeder, außen grün
Für t ≈ 0.2284409891 + 0.5 ≈ 0.7284409891 ergibt sich nochmals das Gerüst eines außen grünen Ikosaeders (Abb. 13.9). Man beachte den Unterschied zum außen grünen Ikosaeder der Abbildung 13.7.
Abb. 13.9: Ikosaeder, außen grün
Für t = 5/6 ergibt sich nochmals ein grünes Oktaeder (Abb. 13.10).
Abb. 13.10: Grünes Oktaeder
Für t = 11/12 ergibt sich nochmals eine aus 4 Davidsternen zusammengesetzte Figur (Abb. 13.11).
Abb. 13.11: Vier Davidsterne
Für t = 1 ergibt sich wieder das rote Oktaeder (Abb. 13.12).
Abb. 13.12: Zurück zur Startfigur
Die Tabelle 1 gibt eine Zusammenstellung der speziellen Situationen.
|
Abbildung |
t |
t dezimal |
t Bemerkungen |
Name |
Außenfarbe |
|
13.0 |
0 |
0 |
|
Oktaeder |
|
|
13.1 |
|
0.1048923442 |
|
Ikosaeder |
|
|
13.2 |
1/6 |
0.1666666666 |
|
Kuboktaeder |
|
|
13.3 |
|
0.2284409891 |
|
Ikosaeder |
|
|
13.4 |
1/3 |
0.3333333333 |
|
Oktaeder |
|
|
13.5 |
5/12 |
0.4166666666 |
|
Davidsterne |
|
|
13.6 |
1/2 |
0.5 |
0 + 1/2 |
Oktaeder |
|
|
13.7 |
|
0.6048923442 |
0.1048923442 + 0.5 |
Ikosaeder |
|
|
13.8 |
2/3 |
0.6666666666 |
1/6 + 1/2 |
Kuboktaeder |
|
|
13.9 |
|
0.7284409891 |
0.2284409891 + 0.5 |
Ikosaeder |
|
|
13.10 |
5/6 |
0.8333333333 |
1/3 + 1/2 |
Oktaeder |
|
|
13.11 |
11/12 |
0.9166666666 |
5/12 + 1/2 |
Davidsterne |
|
|
13.12 |
1 |
1 |
1/2 + 1/2 |
Oktaeder |
|
Tab. 1: Spezielle Situationen
Wir haben für den Parameter t eine Periodenlänge 1 und eine Antiperiodenlänge (Farbwechsel) 1/2.
Weblinks
Hans Walser: Ellipse
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipse4/Ellipse4.html
Hans Walser: Ellipse
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipse3/Ellipse3.html
Hans Walser: Goldener Schnitt
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html
Hans Walser: Ikosaeder
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Ikosaeder3/Ikosaeder3.html
Hans Walser: Oktaedertransformation
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Oktaedertransformation/Oktaedertransformation.html
Literatur
Walser, Hans (2024): Der Goldene Schnitt.
Geometrische und zahlentheoretische Betrachtungen. 7. Auflage. Springer
Spektrum.
Print-ISBN 978-3-662-68556-3. E-Book_ISBN
978-3-662-68557-0.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68557-0