Hans Walser, [20251216]
Rationale Kugelpunkte
Anregung: Zouhair Ouaggag, Zürich
1 Worum es geht
Punkte mit rationalen Koordinaten auf der Einheitskugel
Investigative Studie
2 Vorgehen
In einem pythagoreischen Dreieck sind die Kosinus-Werte und die Sinus-Werte der beiden spitzen Winkel rational.
Wir arbeiten der klassischen Kugelparametrisierung der Einheitskugel:
x = cos(ϕ) cos(λ)
y = cos(ϕ) sin(λ)
z = sin(ϕ)
Dabei sind ϕ die geografische Breite und λ die geografische Länge.
Wir setzen nun für ϕ und λ je einen Winkel aus pythagoreischen Dreiecken ein. Damit erhalten wir einen Punkt mit rationalen Koordinaten auf der Einheitskugel.
3 Beispiele
3.1 Pythagoreische Dreiecke
Wir generieren die pythagoreischen Dreiecke mit der üblichen Parametrisierung (Tab. 1). Dabei ist n die Laufnummer der so generierten pythagoreischen Dreiecke.
|
n |
u |
v |
a |
b |
c |
sin(α) = cos(β) |
cos (α) = sin(β) |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
5 |
3/5 |
4/5 |
|
3 |
3 |
2 |
5 |
12 |
13 |
5/13 |
12/13 |
|
4 |
4 |
1 |
15 |
8 |
17 |
15/17 |
8/17 |
|
5 |
4 |
3 |
7 |
24 |
25 |
7/25 |
24/25 |
|
6 |
5 |
2 |
21 |
20 |
29 |
21/29 |
20/29 |
|
7 |
5 |
4 |
9 |
40 |
41 |
9/41 |
40/41 |
|
8 |
6 |
1 |
35 |
12 |
37 |
35/37 |
12/37 |
|
9 |
6 |
5 |
11 |
60 |
61 |
11/61 |
60/61 |
|
10 |
7 |
2 |
45 |
28 |
53 |
45/53 |
28/53 |
|
11 |
7 |
4 |
33 |
56 |
65 |
33/65 |
56/65 |
|
12 |
7 |
6 |
13 |
84 |
85 |
13/85 |
84/85 |
Tab. 1: Pythagoreische
Dreiecke
3.2 Punkte mit rationalen Koordinaten
Mit den beiden
spitzen Winkeln der zwölf pythagoreischen Dreiecke der Tabelle 1 können wir 122
= 144 Punkte mit rationalen Koordinaten konstruieren (Tab. 2).
|
n1 |
n2 |
x |
y |
z |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
3/5 |
4/5 |
0 |
|
1 |
3 |
5/13 |
12/13 |
0 |
|
1 |
4 |
15/17 |
8/17 |
0 |
|
1 |
5 |
7/25 |
24/25 |
0 |
|
1 |
6 |
21/29 |
20/29 |
0 |
|
1 |
7 |
9/41 |
40/41 |
0 |
|
1 |
8 |
35/37 |
12/37 |
0 |
|
1 |
9 |
11/61 |
60/61 |
0 |
|
1 |
10 |
45/53 |
28/53 |
0 |
|
1 |
11 |
33/65 |
56/65 |
0 |
|
1 |
12 |
13/85 |
84/85 |
0 |
|
2 |
1 |
3/5 |
0 |
4/5 |
|
2 |
2 |
9/25 |
12/25 |
4/5 |
|
2 |
3 |
3/13 |
36/65 |
4/5 |
|
2 |
4 |
9/17 |
24/85 |
4/5 |
|
2 |
5 |
21/125 |
72/125 |
4/5 |
|
2 |
6 |
63/145 |
12/29 |
4/5 |
|
2 |
7 |
27/205 |
24/41 |
4/5 |
|
2 |
8 |
21/37 |
36/185 |
4/5 |
|
2 |
9 |
33/305 |
36/61 |
4/5 |
|
2 |
10 |
27/53 |
84/265 |
4/5 |
|
2 |
11 |
99/325 |
168/325 |
4/5 |
|
2 |
12 |
39/425 |
252/425 |
4/5 |
|
3 |
1 |
5/13 |
0 |
12/13 |
|
3 |
2 |
3/13 |
4/13 |
12/13 |
|
3 |
3 |
25/169 |
60/169 |
12/13 |
|
3 |
4 |
75/221 |
40/221 |
12/13 |
|
3 |
5 |
7/65 |
24/65 |
12/13 |
|
3 |
6 |
105/377 |
100/377 |
12/13 |
|
3 |
7 |
45/533 |
200/533 |
12/13 |
|
3 |
8 |
175/481 |
60/481 |
12/13 |
|
3 |
9 |
55/793 |
300/793 |
12/13 |
|
3 |
10 |
225/689 |
140/689 |
12/13 |
|
3 |
11 |
33/169 |
56/169 |
12/13 |
|
3 |
12 |
1/17 |
84/221 |
12/13 |
|
4 |
1 |
15/17 |
0 |
8/17 |
|
4 |
2 |
9/17 |
12/17 |
8/17 |
|
4 |
3 |
75/221 |
180/221 |
8/17 |
|
4 |
4 |
225/289 |
120/289 |
8/17 |
|
4 |
5 |
21/85 |
72/85 |
8/17 |
|
4 |
6 |
315/493 |
300/493 |
8/17 |
|
4 |
7 |
135/697 |
600/697 |
8/17 |
|
4 |
8 |
525/629 |
180/629 |
8/17 |
|
4 |
9 |
165/1037 |
900/1037 |
8/17 |
|
4 |
10 |
675/901 |
420/901 |
8/17 |
|
4 |
11 |
99/221 |
168/221 |
8/17 |
|
4 |
12 |
39/289 |
252/289 |
8/17 |
|
5 |
1 |
7/25 |
0 |
24/25 |
|
5 |
2 |
21/125 |
28/125 |
24/25 |
|
5 |
3 |
7/65 |
84/325 |
24/25 |
|
5 |
4 |
21/85 |
56/425 |
24/25 |
|
5 |
5 |
49/625 |
168/625 |
24/25 |
|
5 |
6 |
147/725 |
28/145 |
24/25 |
|
5 |
7 |
63/1025 |
56/205 |
24/25 |
|
5 |
8 |
49/185 |
84/925 |
24/25 |
|
5 |
9 |
77/1525 |
84/305 |
24/25 |
|
5 |
10 |
63/265 |
196/1325 |
24/25 |
|
5 |
11 |
231/1625 |
392/1625 |
24/25 |
|
5 |
12 |
91/2125 |
588/2125 |
24/25 |
|
6 |
1 |
21/29 |
0 |
20/29 |
|
6 |
2 |
63/145 |
84/145 |
20/29 |
|
6 |
3 |
105/377 |
252/377 |
20/29 |
|
6 |
4 |
315/493 |
168/493 |
20/29 |
|
6 |
5 |
147/725 |
504/725 |
20/29 |
|
6 |
6 |
441/841 |
420/841 |
20/29 |
|
6 |
7 |
189/1189 |
840/1189 |
20/29 |
|
6 |
8 |
735/1073 |
252/1073 |
20/29 |
|
6 |
9 |
231/1769 |
1260/1769 |
20/29 |
|
6 |
10 |
945/1537 |
588/1537 |
20/29 |
|
6 |
11 |
693/1885 |
1176/1885 |
20/29 |
|
6 |
12 |
273/2465 |
1764/2465 |
20/29 |
|
7 |
1 |
9/41 |
0 |
40/41 |
|
7 |
2 |
27/205 |
36/205 |
40/41 |
|
7 |
3 |
45/533 |
108/533 |
40/41 |
|
7 |
4 |
135/697 |
72/697 |
40/41 |
|
7 |
5 |
63/1025 |
216/1025 |
40/41 |
|
7 |
6 |
189/1189 |
180/1189 |
40/41 |
|
7 |
7 |
81/1681 |
360/1681 |
40/41 |
|
7 |
8 |
315/1517 |
108/1517 |
40/41 |
|
7 |
9 |
99/2501 |
540/2501 |
40/41 |
|
7 |
10 |
405/2173 |
252/2173 |
40/41 |
|
7 |
11 |
297/2665 |
504/2665 |
40/41 |
|
7 |
12 |
117/3485 |
756/3485 |
40/41 |
|
8 |
1 |
35/37 |
0 |
12/37 |
|
8 |
2 |
21/37 |
28/37 |
12/37 |
|
8 |
3 |
175/481 |
420/481 |
12/37 |
|
8 |
4 |
525/629 |
280/629 |
12/37 |
|
8 |
5 |
49/185 |
168/185 |
12/37 |
|
8 |
6 |
735/1073 |
700/1073 |
12/37 |
|
8 |
7 |
315/1517 |
1400/1517 |
12/37 |
|
8 |
8 |
1225/1369 |
420/1369 |
12/37 |
|
8 |
9 |
385/2257 |
2100/2257 |
12/37 |
|
8 |
10 |
1575/1961 |
980/1961 |
12/37 |
|
8 |
11 |
231/481 |
392/481 |
12/37 |
|
8 |
12 |
91/629 |
588/629 |
12/37 |
|
9 |
1 |
11/61 |
0 |
60/61 |
|
9 |
2 |
33/305 |
44/305 |
60/61 |
|
9 |
3 |
55/793 |
132/793 |
60/61 |
|
9 |
4 |
165/1037 |
88/1037 |
60/61 |
|
9 |
5 |
77/1525 |
264/1525 |
60/61 |
|
9 |
6 |
231/1769 |
220/1769 |
60/61 |
|
9 |
7 |
99/2501 |
440/2501 |
60/61 |
|
9 |
8 |
385/2257 |
132/2257 |
60/61 |
|
9 |
9 |
121/3721 |
660/3721 |
60/61 |
|
9 |
10 |
495/3233 |
308/3233 |
60/61 |
|
9 |
11 |
363/3965 |
616/3965 |
60/61 |
|
9 |
12 |
143/5185 |
924/5185 |
60/61 |
|
10 |
1 |
45/53 |
0 |
28/53 |
|
10 |
2 |
27/53 |
36/53 |
28/53 |
|
10 |
3 |
225/689 |
540/689 |
28/53 |
|
10 |
4 |
675/901 |
360/901 |
28/53 |
|
10 |
5 |
63/265 |
216/265 |
28/53 |
|
10 |
6 |
945/1537 |
900/1537 |
28/53 |
|
10 |
7 |
405/2173 |
1800/2173 |
28/53 |
|
10 |
8 |
1575/1961 |
540/1961 |
28/53 |
|
10 |
9 |
495/3233 |
2700/3233 |
28/53 |
|
10 |
10 |
2025/2809 |
1260/2809 |
28/53 |
|
10 |
11 |
297/689 |
504/689 |
28/53 |
|
10 |
12 |
117/901 |
756/901 |
28/53 |
|
11 |
1 |
33/65 |
0 |
56/65 |
|
11 |
2 |
99/325 |
132/325 |
56/65 |
|
11 |
3 |
33/169 |
396/845 |
56/65 |
|
11 |
4 |
99/221 |
264/1105 |
56/65 |
|
11 |
5 |
231/1625 |
792/1625 |
56/65 |
|
11 |
6 |
693/1885 |
132/377 |
56/65 |
|
11 |
7 |
297/2665 |
264/533 |
56/65 |
|
11 |
8 |
231/481 |
396/2405 |
56/65 |
|
11 |
9 |
363/3965 |
396/793 |
56/65 |
|
11 |
10 |
297/689 |
924/3445 |
56/65 |
|
11 |
11 |
1089/4225 |
1848/4225 |
56/65 |
|
11 |
12 |
33/425 |
2772/5525 |
56/65 |
|
12 |
1 |
13/85 |
0 |
84/85 |
|
12 |
2 |
39/425 |
52/425 |
84/85 |
|
12 |
3 |
1/17 |
12/85 |
84/85 |
|
12 |
4 |
39/289 |
104/1445 |
84/85 |
|
12 |
5 |
91/2125 |
312/2125 |
84/85 |
|
12 |
6 |
273/2465 |
52/493 |
84/85 |
|
12 |
7 |
117/3485 |
104/697 |
84/85 |
|
12 |
8 |
91/629 |
156/3145 |
84/85 |
|
12 |
9 |
143/5185 |
156/1037 |
84/85 |
|
12 |
10 |
117/901 |
364/4505 |
84/85 |
|
12 |
11 |
33/425 |
56/425 |
84/85 |
|
12 |
12 |
169/7225 |
1092/7225 |
84/85 |
Tab. 2:
Rationale Koordinaten
3.3 Ansichten
Diese Punkte liegen
auf der Einheitskugel im ersten Oktanten (Abb. 1). Wir erhalten einen 12×12-Raster, der sich an den Meridianen und Breitenkreisen orientiert.
Abb. 1: Auf der
Einheitskugel
3.4 Vivianische Kurve
Die Diagonal-Kurve
des Rasters ist die vivianische Kurve (Abb. 2).
Abb. 2:
Vivianische Kurve
3.5 Vertauschung der Koordinaten
Wir können die
Koordinaten auf 3! = 6 Arten vertauschen und erhalten so das Sechsfache an
Punkten (Abb. 3).
Abb. 3: Vertauschung
der Koordinaten
3.6 Weitere Punkte
Da es unendlich viele
pythagoreische Dreiecke gibt, können wir beliebig viele Punkte mit rationalen
Koordinaten konstruieren. In der Abbildung 4 sind es 6144 Punkte. Man beachte,
dass weder die Kantenmitten (0, ½ √2, ½ √2), ( ½ √2, 0, ½ √2), ( ½ √2, ½ √2, 0),
noch die Dreiecksmitte (⅓√3, ⅓√3, ⅓√3) rationale Koordinaten haben.
Abb. 4: 6144
Punkte
Abb. 5: Alle
Oktanten
Weblinks
Hans Walser: Rationale Kugelpunkte
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rationale_Kugelpunkte2/Rationale_Kugelpunkte2.html
Hans Walser: Rationale Kugelpunkte
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rationale_Kugelpunkte/Rationale_Kugelpunkte.html
Hans Walser: Rationale Kreispunkte
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rationale_Kreispunkte/Rationale_Kreispunkte.html
Hans Walser: Vivianische Kurve
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/V/Vivianische_Kurve/Vivianische_Kurve.html