Hans Walser, [20260212]
Sehnensechsecke
1
Worum es geht
Kombinatorische Geometrie
Flächenvergleiche
Rationale Flächenverhältnisse
2
Konstruktion der Sehnensechsecke
Wir beginnen mit sechs gleichmäßig auf dem
Einheitskreis verteilten Punkten (Abb. 1).
Abb. 1: Sechs Punkte
Wir fragen zunächst nach allen Sechsecken mit den sechs Ecken in genau diesen sechs Punkten. Rein kombinatorisch gibt es 5! = 120 Sechsecke (zyklische Permutationen, Abb. 2).
Abb. 2: 120 Sechsecke
Allerdings sind viele dieser Sechsecke kongruent und gehen durch Drehungen und/oder Spiegelungen auseinander hervor. Es gibt tatsächlich nur zwölf voneinander verschiedene Sechsecke.
3 Flächeninhalte
Die Flächeninhalte der zwölf voneinander verschiedenen Sechsecke stehen in einem rationalen Verhältnis zueinander. Es lassen sich nämlich alle in dasselbe Raster von kongruenten Dreiecken einbetten.
Im Folgenden die zwölf Fälle.
3.1 Regelmäßiges Sechseck
Das regelmäßige Sechseck (Abb. 3.1) ist als einziges Beispiel konvex und hat keine Selbstüberschneidungen. Es enthält 36 Rasterdreiecke.
Abb. 3.1: Regelmäßiges Sechseck
3.2 Beispiel 2
Das Beispiel 2 (Abb. 3.2) enthält 28 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 28/36 = 7/9.
Abb. 3.2
3.3
Beispiel 3
Das Beispiel 3 (Abb. 3.3) enthält 20 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 20/36 = 5/9.
Dieses Beispiel ist das einzige Beispiel ohne Achsensymmetrie.
Abb. 3.3
3.4
Beispiel 4
Das Beispiel 4 (Abb. 3.4) enthält 24 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 24/36 = ⅔.
Abb. 3.4
3.5
Beispiel 5
Das Beispiel 5 (Abb. 3.5) enthält 18 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 18/36 = ½.
Abb. 3.5
3.6
Beispiel 6
Das Beispiel 6 (Abb. 3.6) enthält 24
Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 24/36 = ⅔.
Abb. 3.6
3.7
Beispiel 7
Das Beispiel 7 (Abb. 3.7) enthält 12 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 12/36 = ⅓.
Abb. 3.7
3.8
Beispiel 8
Das Beispiel 8 (Abb. 3.8) enthält 16 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 16/36 = 4/9.
Abb. 3.8
3.9
Beispiel 9
Das Beispiel 9 (Abb. 3.9) enthält 12 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 12/36 = ⅓.
Abb. 3.9
3.10 Beispiel 10
Das Beispiel 10 (Abb. 3.10) enthält 18 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 18/36 = ½.
Abb. 3.10
3.11 Beispiel 11
Das Beispiel 11 (Abb. 3.11) enthält 20 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 20/36 = 5/9.
Abb. 3.11
3.12 Beispiel 12
Das Beispiel 12 (Abb. 3.12) enthält ebenfalls 20 Rasterdreiecke. Das Flächenverhältnis zum regelmäßigen Sechseck ist 20/36 = 5/9.
Abb. 3.12
Weblinks
Hans Walser: Orientierter Flächeninhalt
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/O/Orientierter_Flaecheninhalt/Orientierter_Flaecheninhalt.html
Hans Walser: Polygonfläche
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Polygonflaeche/Polygonflaeche.htm
Hans Walser: Sehnenfünfecke
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehnenfuenfecke/Sehnenfuenfecke.html
Hans Walser: Sehnensechsecke
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehnensechsecke/Sehnensechsecke.html