Hans Walser, [20260708]

Symmetrische Sandhaufen

1 Worum es geht

Spielerei mit Versetzen von Quadraten in einem symmetrischen Kontext.

2 Beschreibung

Wir denken uns mehrere Stapel von Quadraten symmetrisch nebeneinandergestellt. Einzelne Stapel dürfen auch leer sein, das heißt die Höhe null haben. Ferner wählen wir eine Schranke auf der Höhe 1.

Iterationsschritt: Wenn ein Stapel höher ist als diese Schranke, entfernen wir die obersten beiden Quadrate und geben den benachbarten Stapeln links und rechts je ein Quadrat.

Die Iterationsschritte führen wir so lange durch, bis kein Stapel mehr die Schranke übersteigt.

Die Deutung der Quadrate als Sandkörner führt zu einer Modellierung des Zerfalls eines Sandhaufens. Daher der Titel.

In den folgenden Beispielen sind die Quadrate gelb, die Schranke rot und die Symmetrieachse blau eingezeichnet.

Die Zahl links oben in den Abbildungen gibt den aktuellen Iterationsschritt an, die Zahl rechts oben die benötigte Anzahl der Iterationsschritte.

3 Fallunterscheidung

Wir treffen eine Fallunterscheidung je nach der Lage der Symmetrieachse im Kontext der Stapel.

3.1 Symmetrieachse zwischen zwei Stapeln

Abb. 1: Symmetrieachse zwischen zwei Stapeln

Abb. 2: Symmetrieachse zwischen zwei leeren Stapeln

3.2 Symmetrieachse in der Mitte eines Stapels

Hier ist wiederum eine Fallunterscheidung bezüglich der Parität der Anzahl Quadrate im mittleren Stapel erforderlich.

3.2.1 Gerade Anzahl Quadrate im mittleren Stapel

In der Endlage kann es kein Quadrat auf der Symmetrieachse haben.

Abb. 3: Gerade Anzahl Quadrate im mittleren Stapel

Abb. 4: Gerade Anzahl Quadrate im mittleren Stapel

3.2.2 Ungerade Anzahl der Quadrate im mittleren Stapel

Es hat immer mindestens ein Quadrat auf der Symmetrieachse.

Abb. 5: Ungerade Anzahl Quadrate im mittleren Stapel

Abb. 6: Ungerade Anzahl Quadrate im mittleren Stapel

Abb. 7: Ungerade Anzahl kleine Quadrate im mittleren Stapel

Weblinks

Hans Walser: Sandhaufen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sandhaufen2/Sandhaufen2.html

Hans Walser: Sandpiles

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sandhaufen2/Sandpiles2.html

Hans Walser: Sandhaufen

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sandhaufen/Sandhaufen.html

Hans Walser: Sandpiles

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sandhaufen/Sandpiles.html