1 Worum es geht

Eine Konstruktion mit gleichseitigen Dreiecken, welche zu gleichschenkligen Trapezen im Kontext einer verallgemeinerten Fibonacci-Folge führt.

2 Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

Die Startwerte f₁ und f₂ sind beliebig. Die Rekursion ist die übliche Fibonacci-Rekursion:

(1) f_n₊₁ = f_n + f_n_–1

3 Visualisierung der Rekursion

Wir zeichnen ein gleichschenkliges Trapez mit den Basiswinkeln 60°. Die obere Parallelseite habe die Länge f_n_–1, die Schenkellänge sei f_n (Abb. 1). Mit einer zu einem Schenkel parallelen roten Trennlinie zerlegen wir das Trapez in ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge f_n und ein Parallelogramm der Seitenlängen f_n und f_n_–1. Daraus ergibt sich, dass die untere Parallelseite die Länge f_n₊₁ hat.

Abb. 1: Gleichschenkliges Trapez

Wir drehen nun das Trapez um +120° sowie um –120° und fügen die beiden gedrehten Trapeze an einer Ecke zusammen (Abb. 2).

Abb. 2: Iterationsschritt

Die konvexe Hülle der Figur ist wiederum ein gleichschenkliges Trapez mit Basiswinkeln 60°. Die obere Parallelseite hat nun die Länge f_n, die Schenkellänge ist f_n₊₁. Die untere Parallelseite hat die Länge f_n₊₂.

Diese Überlegungen sind unabhängig von den beiden Startwerten f₁ und f₂.

4 Beispiel

4.1 Startwerte und Folge

Für die Figuren im folgenden Beispiel arbeiten wir mit den beiden Startwerten f₁ = 2 und f₂ = 5. Die Tabelle 1 gibt die zugehörige verallgemeinerte Fibonacci-Folge.

n	f_n
1	2	Startwert
2	5	Startwert
3	7
4	12
5	19
6	31
7	50
8	81
9	131
10	212

Tab. 1: Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

4.2 Basistrapez

Wir beginnen mit einem gleichschenkligen Basistrapez (Abb. 3) mit der oberen Parallelseite f₁ = 2 und der Schenkellänge f₂ = 5. Mit der Parkettierung des Basistrapezes durch gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge 1 können die Seitenlängen des Trapezes direkt abgelesen werden. Die untere Parallelseite hat die Länge f₃ = 7. Die Anzahl der gleichseitigen Dreiecke ist 45.

Abb. 3: Basistrapez

4.3 Iterationen

Mit dem Basistrapez führen wir den oben beschriebenen Iterationsschritt durch (Abb. 4.1). Das neue Trapez hat einen Flächeninhalt, welcher 119 gleichseitigen Dreiecken der Seitenlänge 1 entspricht.