1 Worum es geht

Grafische Illustration der Formel:

2 Unterteilungen des Quadrates

Die Abbildung 1 zeigt eine Unterteilung des Quadrates in 100 rechtwinklige Dreiecke mit dem Seitenverhältnis 2:1:√5 . Je 20 Dreiecke sind in den Farben rot, grün, hellblau, gelb und orange markiert.

Abb. 1: Unterteilung des Quadrates

Wir können diese Dreiecke im Quadrat anders anordnen (Abb. 2).

Abb. 2: Andere Anordnung

Die roten, grünen, hellblauen und gelben Dreiecke bilden je ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Seitenverhältnis 2:1:√5 , die orangen Dreiecke bilden ein Quadrat. Die fünf farbigen Figuren sind flächengleich, ihre Fläche ist je ein Fünftel der Quadratfläche.

3 Rotes Dreieck

Das rote Dreieck können wir durch Zusammenfassen von je vier kleinen roten Dreiecken in fünf Dreiecke ebenfalls mit dem Seitenverhältnis 2:1:√5 unterteilen (Abb. 3).

Abb. 3: Fünftelung des roten Dreiecks

4 Ansetzen

Wir setzen nun einen Fünftel des roten Dreiecks an das rote Dreieck an (Abb. 4).

Abb. 4: Ansetzen

Das große rote Dreieck hat einen Fünftel der Fläche des Quadrates. Das kleine rote Dreieck hat einen Fünftel von einem Fünftel der Quadratfläche.

Da die Dreiecke ähnlich sind, können wir entsprechend einen Fünftel des kleinen Dreiecks ansetzen (Abb. 5). Dieses Dreieck ist kleiner als die ursprüngliche Rasterdreiecke. Wir emanzipieren uns also von der Rasterung.

Abb. 5: Weiteres Dreieck

Entsprechend können wir, zumindest gedanklich, ad infinitum weiterfahren. Die Abbildung 6 deutet das an, zeigt aber nur endlich viele Schritte. Die roten Dreiecke werden sehr rasch so klein, dass sie in der Strichdicke untergehen.