Hans Walser, [20240404]
Siebeneck
Anregung: Wilfried Dutkowsi, Bonn
Einschiebekonstruktion für das regelmäßige Siebeneck
Wir beginnen mit einem sehr spitzen gleichschenkligen Dreieck und tragen die Basislänge im Zickzack dreimal ab (Abb. 1).
Abb.1: Gleichschenkliges Dreieck mit Zickzack
Nun spreizen wir das Dreieck. Wir vergrößern den Winkel an der Spitze. Dadurch wird auch die Basis größer, entsprechend vergrößern sich die Seiten der Zickzacklinie. Der Endpunkt der Zickzacklinie verschiebt sich gegen die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks. Wir spreizen so lange, bis der Endpunkt der Zickzacklinie auf die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks zu liegen kommt (Abb. 2).
Abb. 2: Spreizen des gleichschenkligen Dreiecks
In der Endlage misst der Winkel an der Spitze π/7.
Dies kann eingesehen werden wie folgt. Den Winkel an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks bezeichnen wir mit γ.
In der Endlage zerlegt die Zickzacklinie das gelbe Dreieck in drei gleichschenklige Dreiecke (Abb. 3). Durch Winkelüberlegungen an diesen gleichschenkligen Dreiecken (Außenwinkel an der Spitze gleich Summe der Basiswinkel) ergibt sich für den Basiswinkel des ursprünglichen gleichschenkligen Dreiecks 3γ. Somit erhalten wir für dessen Winkelsumme:
γ + 3γ + 3γ = π
γ = π/7
Abb. 3: Beweisfigur
Damit haben wir mehrere Möglichkeiten, zum regelmäßigen Siebeneck zu kommen.
Durch mehrfaches Spiegeln an den Schenkeln erhalten wir ein regelmäßiges 14-Eck (Abb. 4). Wenn wir davon jede zweite Ecke nehmen, ergibt sich ein regelmäßiges Siebeneck.
Abb. 4: Regelmäßiges 14-Eck
Auf dem Umkreis des gleichschenkligen Dreiecks können wir siebenmal die Basislänge abtragen (Abb. 5).
Abb. 5: Umkreis
Das kleinste gleichschenklige Dreieck in der Zerlegung in der Abbildung 3 ist ähnlich zum ursprünglichen gleichschenkligen Dreieck. Wir können also auch damit fuhrwerken (Abb. 6 und Abb. 7).
Abb. 6: Noch ein 14-Eck
Abb. 7: Kleines Siebeneck
Was ergibt sich, wenn wir das grüne oder das orange gleichschenklige Dreieck der Abbildung 3 fortlaufend an den Schenkeln spiegeln?
Wie muss unser Verfahren modifiziert werden, um ein regelmäßiges Neuneck zu erhalten?
GeoGebra
Weblinks
Hans Walser: Siebeneck
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Siebeneck4/Siebeneck4.html
Hans Walser: Siebeneck
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Siebeneck3/Siebeneck3.html
Hans Walser: Siebeneck
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Siebeneck2/Siebeneck2.html
Hans Walser: Siebeneck-Knoten
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Siebeneck-Knoten/Siebeneck-Knoten.htm
Hans Walser: Siebeneck am Dom zu Mainz
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Siebeneck_Mainz/Siebeneck_Mainz.htm
Hans Walser: Siebeneck im Raum
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Siebeneck/Siebeneck.htm
Hans Walser: Siebeneck und Neuneck
https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Siebeneck_und_Neuneck/Siebeneck_und_Neuneck.htm
Hans Walser: Siebenbannstein (Vortrag)
https://walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag90/index.html