Hans Walser, [20250721]

Summe = Produkt

Anregung: Hartmut Müller-Sommer, Vechta

1 Problemstellung

Gesucht sind Zahlen, deren Summe gleich ihrem Produkt ist. Visualisierung der Lösungen im zwei- und im dreidimensionalen Fall.

2 Zwei Zahlen

Gesucht sind zwei Zahlen x und y, so dass:

x + y = xy

Diese Gleichung beschreibt eine Hyperbel (Abb. 1) mit zwei orthogonalen Asymptoten. Die Lösungsmenge zerfällt in zwei Äste, wie man im Jargon sagt.

Ganzzahlige Lösungen sind [0, 0] und [2, 2]. Weitere ganzzahlige Lösungen gibt es nicht.

Abb. 1: Lösungsmenge eine Hyperbel

3 Drei Zahlen

3.1 Problemstellung

Gesucht sind drei Zahlen x, y und z, so dass:

x + y + z = xyz

Das klassische ganzzahlige Beispiel ist:

1 + 2 + 3 = 1•2•3

3.2 Lösungsmenge

Die Gleichung x + y + z = xyz beschreibt eine Fläche im Raum (Abb. 2 und Abb. 3), welche näher anzusehen sich lohnt.

Abb. 2: Lösungsmenge

Abb. 3: Lösungsmenge in Rotation

Die Lösungsmenge besteht aus drei „Ästen“.

3.3 Affensattel

Der mittlere Ast (Abb. 4) ist ein Affensattel.

Abb. 4: Mittlerer Ast

Dies wird einsichtig, wenn wir den Normalvektor zur Fläche im Mittelpunkt in Richtung der z-Achse drehen (Abb. 5 und Abb. 6).

Abb. 5: Affensattel

Abb. 6: Rotierender Affensattel

Es handelt sich allerdings nicht um den klassischen Affensattel.

3.4 Spezielle Sichten

Die Abbildung 7 zeigt Sichten der drei Äste von vorne, von der Seite und von oben. Die hyperbelförmigen Zwischenräume schreien nach Asymptoten.

Abb. 7.1: Sicht von vorne

Abb. 7.2: Sicht von der Seite

Abb. 7.3: Sicht von oben

Die Abbildung 8 zeigt eine Sicht auf eine Würfelkante der Koordinatenbox.

Abb. 8: Sicht über eine Würfelkante der Koordinatenbox

Die Abbildung 9 zeigt den Affensattel zusammen mit den beiden anderen Ästen.

Abb. 9.1: Affensattel zusammen mit den beiden anderen Ästen

Abb. 9.2: Sicht von oben

3.5 Asymptoten

In der Abbildung 10 ist ein grüner Zylinder mit hyperbolischer Leitlinie eingezeichnet. Die rote Lösungsmenge nähert sich asymptotisch diesem Zylinder.

Abb. 10: Asymptote

Dies kann wie folgt eingesehen werden: Die Gleichung x + y + z = xyz kann umgeformt werden zu:

Die Polstellen für Pole in z-Richtung sind die Stellen mit xy – 1 = 0. Diese Gleichung definiert den grünen Zylinder mit der hyperbolischen Leitlinie.

Da die Gleichung x + y + z = xyz symmetrisch in x, y und z ist, gibt es drei solche Asymptoten (grün, gelb und hellblau in Abb. 11, Abb. 12 und Abb. 13).

Abb. 11: Asymptoten

Die Abbildung 12 zeigt die Asymptoten ohne die rote Lösungsmenge.

Abb. 12: Asymptoten ohne rote Lösungsmenge

Abb. 13: Wer hat den Durchblick?

Der Affensattel (mittlerer Ast) befindet sich in diesem Asymptotengefüge, ohne von einer Asymptote geschnitten zu werden (Abb. 14 und Abb. 15). Begründung: Die Asymptoten schneiden die rote Lösungsmenge nicht, wie aus der Abbildung 7 hervorgeht.

Abb. 14: Affensattel und Asymptoten

Abb. 15: Affensattel und Asymptoten in verschiedenen Sichten

3.6 Ganzzahlige Lösungen

Die ganzzahligen Lösungen sind (Abb. 16):

[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1], die Lösungspunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck

[–1, –2, – 3], [–1, –3, –2], [–2, –1, –3], [–2, –3, –1], [–3, –1, –2], [–3, –2, –1] , die Lösungspunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck

[a, –a, 0] , a ∈ ℤ, [a, 0, –a] , a ∈ ℤ, [0, a, –a] , a ∈ ℤ , die Lösungspunkte bilden Geraden, die sich unter Winkeln von 120° schneiden

Abb. 16.1: Ganzzahlige Lösungen

Abb. 16.2: Ganzzahlige Lösungen in spezieller Sicht

Weblinks

Hans Walser: Summe = Produkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe=Produkt4/Summe=Produkt4.html

Hans Walser: Summe = Produkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe=Produkt2/Summe=Produkt2.html

Hans Walser: Summe = Produkt

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe=Produkt/Summe=Produkt.htm

Hans Walser: Tangens im Dreieck

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangens_im_Dreieck/Tangens_im_Dreieck.html

Hans Walser: Ganzzahlige Dreiecke

https://walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Ganzzahlige_Dreiecke2/Ganzzahlige_Dreiecke2.html