1 Worum es geht

Verallgemeinerung des Satzes von Varignon

2 Im Quadratraster

Die Abbildung 1 zeigt ein schwarzes Quadratraster mit einem roten Diagonalraster.

Abb. 1: Quadratraster

Wir versuchen nun, diese Figur auf ein allgemeines Viereck zu übertragen.

3 Allgemeines Viereck

Wir unterteilen jede Seite eines allgemeinen Vierecks in gleich viele Teile (acht Teile in Abb. 2).

Abb. 2: Allgemeines Viereck mit gleichmäßig unterteilten Seiten

Nun verbinden wir entsprechende Punkte auf gegenüberliegenden Seiten (Abb. 3 und 4).

Abb. 3: Verbindungslinien

Abb. 4: Viereckraster

Wir erhalten ein Viereckraster. Jede Strecke der einen Schar wird von den Strecken der anderen Schar gleichmäßig unterteilt. Dies kann mit Gewichtsüberlegungen gezeigt werden.

Hintergrund: bei der Figur handelt es sich um ein flachgedrücktes hyperbolisches Paraboloid.

4 Diagonalen

Wir zeichnen Diagonalen ein (Abb. 5).

Abb. 5: Diagonalen

Die Stützpunkte einer Diagonalen liegen nicht wie im Quadratraster auf einer Geraden. Sie liegen auf einer Parabel (Abb. 6). Man kann also eine Parabel durch einen linearen Mechanismus in einem allgemeinen Viereck erzeugen.

Abb. 6: Parabel

Durch die Konterdiagonalen entsteht ein rotes Viereckraster (Abb. 7).

Abb. 7: Viereckraster

Die roten Vierecke sind Parallelogramme. Dies folgt aus dem Satz von Varignon und ist eine Verallgemeinerung davon.

Wenn wir nun von den Kantenmitten des ursprünglichen Viereckes ausgehen, erhalten wir eine Art „Viereck“ (gelb in Abb. 8), dessen gegenüberliegende Seiten stückweise parallel und gleich lang sind, also ein verallgemeinertes „Parallelogramm“.

Abb. 8: „Parallelogramm“

5 Parabelscharen

Die Abbildung 9 zeigt die eine der beiden Parabelscharen durch die Gitterpunkte. Die Parabeln sind kongruent und gehen durch Translationen auseinander hervor.